Родился 14 июня 1891 года в Усть-Каменогорске в военной крепости, в семье отставного фельдфебеля Мелентия Михайловича Волкова. В 12 лет окончил первым учеником усть-каменогорское городское училище, где позже начал свою педагогическую деятельность. В 1907 году поступил в Томский учительский институт, по окончании которого (в 1909 году) получил диплом с правом преподавать все предметы школьной программы, кроме Закона Божьего. Начал работать учителем в своем родном городе, в 1910 году (по специальности — математик) работал учителем в Новосибирской области, городе Колывани. В 1920-х годах переехал в Ярославль, где работал директором школы. Заочно закончил математический факультет Ярославского педагогического института. В 1929 году переехал в Москву, где работал заведующим учебной частью рабфака. За семь месяцев закончил курс и сдал экстерном экзамены на физико-математическом факультете Московского университета. С 1931 года, в течение двадцати лет с момента основания, преподаватель, затем — доцент кафедры высшей математики Московского института цветных металлов и золота. Волков был энциклопедически образованным человеком, хорошо знал литературу, историю, владел иностранными языками. В 24 года Волков познакомился на новогоднем балу в Усть-Каменогорске с преподавательницей гимнастики и танцев в гимназии Калерией Губиной. Через два месяца они поженились и через год у них родился сын Вивиан (умер в пять лет от дизентерии), а через три года другой — Ромуальд (умер в два года от крупа). Тем не менее, через несколько лет у Александра и Калерии снова поочерёдно родилось два сына, и они дали им те же имена.